Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x-2，设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁≥0，x₂＞0），若直线PQ∥x轴，则P，Q两点间最短距离为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,点到直线的距离公式

专题：导数的概念及应用

分析：求出导函数f′（x），根据题意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=e^x+sinx-x+2（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．

解答： 解：x≥0时，f'（x）=e^x+cosx≥1+cosx≥0，
∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∵f（x₁）=g（x₂），所以ex1+sinx₁=x₂-2，
∴P，Q两点间的距离等于|x₂-x₁|=|ex1+sinx1-x1+2|，
设h（x）=e^x+sinx-x+2（x≥0），则h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），
记l（x）=h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），则l'（x）=e^x-sinx≥1-sinx≥0，
∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3，
∴|x₂-x₁|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．
故选：B．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．