Question

中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了技术改进，并增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为

3

4

、

2

3

、

1

2

，指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分，某项指标不合格记为0分，各项指标检测结果互不影响．
（1）求该项技术量化得分不低于8分的概率；
（2）记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,概率的基本性质

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，事件“得分不低于8分”表示为ABC+A

.

B

C．利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出结果．
（2）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）记甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，
则事件“得分不低于8分”表示为ABC+A

.

B

C．
∵ABC与A

.

B

C为互斥事件，且A，B，C之间彼此独立，
∴P（ABC+A

.

B

C）=P（ABC）+P（A

.

B

C）
=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）
=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

=

3

8

．
（2）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0、1、2、3．
P（X=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

24

，
P（X=1）=

3

4

×

1

3

×

1

2

+

1

4

×

2

3

×

1

2

+

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

4

，
P（X=2）=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

1

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

=

11

24

，
P（X=3）=P（ABC）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

，
随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

∴E（X）=0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机事件的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，解题时要注意互斥事件和相互独立事件的概率计算公式的应用．