Question

17．已知函数f（x）=e^xlnx（x＞0），若对$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]，?k∈[{-a，a}]（{a＞0}）$使得方程f（x）=k有解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，e^e]
• B． [e^e，+∞）
• C． [e，+∞）
• D． $[{{e^{\frac{1}{e}}}，{e^e}}]$

Answer 1

分析 利用导数判断f（x）的单调性，得出f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的值域，从而得出a的范围．

解答 解：f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$），
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，则g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上单调递增，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的值域为[-e${\;}^{\frac{1}{e}}$，e^e]．
∵对$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]，?k∈[{-a，a}]（{a＞0}）$使得方程f（x）=k有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{e}^{\frac{1}{e}}≥-a}\\{{e}^{e}≤a}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得a≥e^e．
故选B．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题与最值计算，属于中档题．