Question

17．已知函数$g（x）={e^{1+{x^2}}}-\frac{1}{{1+{x^2}}}+|x|$，则使得g（x-1）＞g（3x+1）成立的x的取值范围是（-1，0）．

Answer 1

分析 根据题意，由函数g（x）的解析式分析可得g（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；由此可以将g（x-1）＞g（3x+1）转化为|x-1|＞|3x+1|，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数$g（x）={e^{1+{x^2}}}-\frac{1}{{1+{x^2}}}+|x|$，
$g（-x）={e^{1+{x^2}}}-\frac{1}{{1+{x^2}}}+|-x|$=g（x），则g（x）为偶函数．
分析易知g（x）在[0，+∞）上为增函数．
则g（x-1）＞g（3x+1）?g（|x-1|）＞g（|3x+1|）?|x-1|＞|3x+1|，
解可得-1＜x＜0；
即x的取值范围为（-1，0）；
故答案为：（-1，0）．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性．