Question

16．在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点（含边界），若$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，则|$\overrightarrow{AP}$|的取值范围为（　　）

• A． [2，$\frac{2\sqrt{10+3\sqrt{3}}}{3}$]
• B． [2，$\frac{8}{3}$]
• C． [0，$\frac{2\sqrt{13}}{3}$]
• D． [2，$\frac{2\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 在AB上取一点D，使得$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$．过D，作DH∥AC，交AC于H，可得点P在线段DH上，当P在D处时，|$\overrightarrow{AP}$|最小为$\frac{2}{3}AB=2$；当P在H处时，|$\overrightarrow{AP}$|最大，∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且B，P，C共线，⇒${\overrightarrow{AP}}^{2}=\frac{1}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{A{B}^{2}}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{52}{9}$，即可得|$\overrightarrow{AP}$|的取值范围．

解答 解：在AB上取一点D，使得$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$．过D，作DH∥AC，交AC于H，
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且点P是△ABC内一点（含边界），∵点P在线段DH上
当P在D处时，|$\overrightarrow{AP}$|最小为$\frac{2}{3}AB=2$，
当P在H处时，|$\overrightarrow{AP}$|最大，∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且B，P，C共线，∴$λ=\frac{1}{3}$
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，⇒${\overrightarrow{AP}}^{2}=\frac{1}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{A{B}^{2}}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{52}{9}$
则|$\overrightarrow{AP}$|的取值范围为[2，$\frac{2\sqrt{13}}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查了向量的线性运算，向量的模运算，考查了转化思想，属于中档题．