Question

设函数f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴．
（Ⅱ）函数的单调增区间及最大值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，易得周期和对称性；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

解不等式可得单调区间和最值．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx
=

1

2

•2sinxcosx+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

•

1+cos2x

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
∴对称轴为x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，
∴函数的单调增区间为[得2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z
函数最大值为：1+

3

2

点评：本题考查三角函数公式的应用，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题．