Question

已知函数f（x）对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=1．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用单调性的定义，可以证出f（x）为R上的增函数；
（2）结合函数为奇函数，f（1）=1，不难得到函数f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x₂-x₁）＞0
又∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，可得f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为R上的增函数；
（2）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，得f（-x+x）=f（x）+f（-x）
即f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）
因此f（x）为R上的奇函数．
∵f（1）=1，
∴令x=y=1，有f（1+1）=f（1）+f（1），
∴f（2）=2，∴f（4）=f（2）+f（2）=4，
∴f（-4）=-4，
∴f（x）在[-4，4]上的最大值为4，最小值是-4．

点评：本题以抽象函数为例，求函数的单调性的奇偶性，着重考查了函数的简单性质和函数的值域求法等知识点，属于中档题．