Question

有下列四个命题：
①在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB，则命题p是命题q的充要条件；
②p：数列{a_n}是等差数列，q：数列{a_n}是单调数列，则命题p是命题q的充要条件；
③p：△ABC是锐角△ABC，q：sinA＞cosB，则命题p是命题q的充要条件；
④α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos（α+β）≠

1

2

成立的必要不充分条件．
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，利用大角对大边及正弦定理可判断①；
②，举例说明令a_n=0，则数列{a_n}为常数列，是等差数列，但不是单调数列，可判断②；
③，利用诱导公式，△ABC是锐角△ABC⇒sinA＞cosB，反之，不成立（如A=30°，B=120°）可判断③；
④，利用等价命题之间的关系，可判断原命题的等价命题“cos（α+β）=

1

2

是α=

π

6

且β=

π

6

成立的必要不充分条件”的正误判断④．

解答： 解：对于①，在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB，
∵A＞B?a＞b，由正弦定理得，a＞b?2RsinA＞2RsinB，故A＞B?sinA＞sinB，故命题p是命题q的充要条件，故①正确；
对于②，令a_n=0，则数列{a_n}为常数列，是等差数列，但不是单调数列，充分性不成立，故②错误．
对于③，∵P：△ABC是锐角△ABC，q：sinA＞cosB，
由△ABC是锐角△ABC⇒A∈（0，

π

2

），B∈（0，

π

2

），C=[π-（A+B）]∈（0，

π

2

），
∴

π

2

＜A+B＜π，∴sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即p⇒q，充分性成立；
反之，不成立，如A=30°，B=120°，满足sinA＞cosB，但△ABC不是锐角三角形，即必要性不成立；
∴命题p是命题q的充分不必要条件，故③错误；
对于④，要判断α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos（α+β）≠

1

2

成立的必要不充分条件的正误，
就是判断其等价命题“cos（α+β）=

1

2

是α=

π

6

且β=

π

6

成立的必要不充分条件”的正误．
∵cos（α+β）=

1

2

，不能推出α=

π

6

且β=

π

6

，即充分性不成立；
反之，α=

π

6

且β=

π

6

，则α+β=

π

3

，cos（α+β）=cos

π

3

=

1

2

，必要性成立，
∴原命题的等价命题“cos（α+β）=

1

2

是α=

π

6

且β=

π

6

成立的必要不充分条件”正确，故④正确．
故正确的命题序号是①④，
故答案为：①④．

点评：本题考查充分必要条件的判断，综合考查正弦定理、四种命题之间的关系及真假判断，理解“充分条件”与“必要条件”的概念是推理判断的关键，考查转化思想．