Question

证明：对?n∈N^*，eⁿ＞

1

2

n²+n+1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：证明题,导数的综合应用

分析：令f（x）=e^x-

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2

x²-x-1；对函数二阶求导从而确定函数的单调性，从而证明．

解答： 证明：令f（x）=e^x-

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2

x²-x-1；
f′（x）=e^x-x-1，
f″（x）=e^x-1，
故当x＞0时，f″（x）＞0，
即f′（x）在[0，+∞）上是增函数；
故当x＞0时，f′（x）＞f′（0）=0，
即f（x）在[0，+∞）上是增函数；
故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
又∵f（1）=e-

1

2

-2＞0；
故eⁿ＞

1

2

n²+n+1．

点评：本题考查了数列与函数的关系及导数的综合应用，属于中档题．