Question

直线l：y=k（x+2）与椭圆

x2

2

+y²=1相较于A、B两点，O为坐标原点，若以OA、OB为；邻边作平行四边形OAPB．
（1）求P点的轨迹方程；
（2）是否存在直线l，使OAPB为矩形，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立

y=k(x+2) x2+2y2=2

，得：（1+2k²）x²+8k²x-2+8k²=0，由此利用韦达定理和平面向量的运算法则能求出P点的轨迹方程；
（2）假设存在直线l，使OAPB为矩形．由于OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，运用韦达定理及点在直线上满足直线方程，化简整理得到k的方程，解出k，注意检验判别式是否大于0．

解答： 解：（1）联立

y=k(x+2) x2+2y2=2

，
得：（1+2k²）x²+8k²x-2+8k²=0，
∵以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，
即有

OP

=

OA

+

OB

，
设P（x，y），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，
y₁+y₂=（kx₁+2k）+（kx₂+2k）=k（x₁+x₂）+4k=

4k

1+2k2

，
∴

x=x1+x2=- 8k2 1+2k2 y=y1+y2= 4k 1+2k2

，∴k=-

x

2y

，代入上式，得，x²+2y²+4x=0．
∴P点的轨迹方程为x²+2y²+4x=0；
（2）假设存在直线l，使OAPB为矩形．
由（1）得，x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+2k）（kx₂+2k）=k²x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²
=

2k2

1+2k2

，
由于OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，即为

8k2-2

1+2k2

+

2k2

1+2k2

=0，
解得，k=±

5

5

．
检验：判别式△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=

24

5

＞0，成立．
故存在直线l：y=±

5

5

（x+2），使OAPB为矩形．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，以及判别式大于0的条件．