题目内容
2．
如图，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{7}$ | D． | 3 |
分析 根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=$\sqrt{7}$a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．
解答 解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，
∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a
又∵|AF2|-|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°，
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a2，解之得c=$\sqrt{7}$a，
由此可得双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，题目考查经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．
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