Question

17．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD的边长为a的正方形，E是CC₁的中点，若该长方体的外接球的表面积为10πa²，则异面直线AE与C₁D₁所成的角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 先求出该长方体的外接球的半径，再求出该长方体的高，以D为原点，DA为x员，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与C₁D₁所成的角的大小．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD的边长为a的正方形，
E是CC₁的中点，该长方体的外接球的表面积为10πa²，
∴该长方体的外接球的半径为r=$\sqrt{\frac{10π{a}^{2}}{4π}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}a$，
设该长方体的高为b，则$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}a$，解得b=2$\sqrt{2}a$，
以D为原点，DA为x员，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），E（0，a，$\sqrt{2}a$），C₁（0，a，2$\sqrt{2}a$），D₁（0，0，2$\sqrt{2}a$），
$\overrightarrow{AE}$=（-a，a，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}$=（0，-a，0），
设异面直线AE与C₁D₁所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}|}$=$\frac{{a}^{2}}{2a•a}$=$\frac{1}{2}$．
∴θ=60°．
∴异面直线AE与C₁D₁所成的角为60°．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的外接球、向量法的合理运用．