Question

7．如图，已知平面APD⊥平面ABCD，AB∥CD，CD=AD=AP=4，AB=2，AD⊥AP，CB=2$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求证：CD⊥AP；
（Ⅱ）求三棱锥B-APC的体积．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质得出AP⊥平面ABCD，于是AP⊥CD；
（2）取CD中点E，连接BE，由勾股定理得出BE⊥CD，从而得出△ABC的面积，故而V_B-APC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•AP$．

解答 证明：（1）∵AD⊥AP，平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，AP?平面APD，
∴AP⊥平面ABCD，
又CD?平面ABCD，
∴CD⊥AP．
（2）取CD中点E，连接BE，
∵AB∥CD，AB=2，DE=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD．
∵AD=4，CE=$\frac{1}{2}CD=2$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴BC²=CE²+BE²，∴BE⊥CE．
∴BE⊥AB．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×AB×BE$=$\frac{1}{2}×2×4$=4，
∴V_B-APC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•AP$=$\frac{1}{3}×4×4$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．