已知定点A.平面上动点P到A点的距离与到B点的距离之比为λ(I)求动点P的轨迹方程.并说明方程表示的曲线,(II)当λ=2时.记P点的轨迹与y轴交于M.N两点.若过点P做圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线l1.l2分别交y轴于H.K两点.在构成三角形的条件下.求$\frac{{{S △} {PMN}}}{{{S {△PHK}}}}$得最大值.并指出取得最大值时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知定点A（7，0），B（1，0），平面上动点P到A点的距离与到B点的距离之比为λ（λ＞0，且为常数）
（I）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（II）当λ=2时，记P点的轨迹与y轴交于M、N两点，若过点P做圆C：（x-1）²+y²=1的两条切线l₁、l₂分别交y轴于H、K两点，在构成三角形的条件下，求$\frac{{{S_△}_{PMN}}}{{{S_{△PHK}}}}$得最大值，并指出取得最大值时的P点坐标．

分析（I）利用直接法求动点P的轨迹方程，从而说明方程表示的曲线；
（II）由题意知，两条切线的斜率都存在，设点P（x₀，y₀），切线的斜率为k，则切线方程为kx-y+y₀-kx₀=0，$\frac{|k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，由此入手能求，|HK|取得最小值$\frac{20}{7}$，即可$\frac{{{S_△}_{PMN}}}{{{S_{△PHK}}}}$=$\frac{|MN|}{|HK|}$最大值．

解答解：（I）设P（x，y），则由题意，（x-7）²+y²=λ²（x-1）²+λ²y²，
∴（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2λ²-14）x=λ²-49
λ=1时，方程为x=4，表示直线；
λ＞0且λ≠1时，方程为（x+$\frac{{λ}^{2}-7}{1-{λ}^{2}}$）²+y²=$\frac{36{λ}^{2}}{（1-{λ}^{2}）^{2}}$，方程表示圆；
（II）当λ=2时，方程为（x+1）²+y²=16．令x=0，可得y=±$\sqrt{15}$．
由题意知，两条切线的斜率都存在，设点P（x₀，y₀），
切线的斜率为k，则切线方程为y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，
∴$\frac{|k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴（x₀²-2x₀）k²+2（1-x₀）y₀k+y₀²-1=0，
记其两根分别为k₁，k₂，
在y-y₀=k（x-x₀）中，
令x=0，得y=y₀-kx₀，∴|HK|=|（k₁-k₂）x₀|，
∴|HK|²=x₀²[（k₁+k₂）²-4k₁k₂]=4•$\frac{{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$=4•$\frac{15-4{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$
令15-4x₀=t，则t∈[3，35]，
∴|HK|²=4•$\frac{16}{t+\frac{49}{t}-14}$
当t=35时，|HK|取得最小值$\sqrt{\frac{20}{7}}$，
∴$\frac{{{S_△}_{PMN}}}{{{S_{△PHK}}}}$=$\frac{|MN|}{|HK|}$最大值为=$\sqrt{21}$．