Question

6．设$\overrightarrow{a}$=（2，x），$\overrightarrow{b}$=（-4，5）．若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为钝角，则x的取值范围是x＜$\frac{8}{5}$且x≠-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为钝角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不反向，分别解x的范围取交集即可．

解答 解解：∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为钝角，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不反向，
即-8+5x＜0，解得x＜$\frac{8}{5}$，
当两个向量反向时，$\overrightarrow{a}$=k$\overrightarrow{b}$，即$\left\{\begin{array}{l}{2=-4k}\\{x=5k}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{5}{2}$，
∴当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角时，x＜$\frac{8}{5}$且x≠-$\frac{5}{2}$．
故答案为：x＜$\frac{8}{5}$且x≠-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查向量的夹角问题，转化为$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不反向是解决问题的关键，属中档题．