Question

3．已知函数g（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，f（x）=mx-$\frac{m-2}{x}$-lnx，m∈R．
（1）求函数g（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数g（x）的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值；
（2）化简f（x）-g（x）的表达式，求出函数的导数，利用函数在[1，+∞）上为单调函数，转化为m的不等式，通过基本不等式求解最值，即可得到m的取值范围．

解答 解：（1）∵g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0得：x＞2；令g′（x）＜0，得：x＜2，
又因为g（x）的定义域为（0，+∞），
故g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
故g（x）_极小值=g（2）=1+ln2，无极大值．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx，
∴（f（x）-g（x））′=$\frac{{mx}^{2}-2x+m}{{x}^{2}}$，
∵f（x）-g（x）在[1，∞）上为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0，在[1，∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$，
而 $\frac{2x}{1{+x}^{2}}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，{$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$}max=1∴m≥1．
∴mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，
即m≤$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立，
而$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的恒成立问题的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．