Question

正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，C₁D₁的中点，则A₁B₁与面A₁EF所成角的正切值为

 

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Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：说明∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值．

解答： 解：连接C₁B，∵E、F分别为AB与C₁D₁的中点，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB为平行四边形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四边形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在线段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C=

B1C

A1B1

=

2

．
∴A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值为

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．