Question

已知函数f（x）=

1

x

+

1

x2

+

1

x3

．
（I）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（II）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导可判断f′（x）=-

x2+2x+3

x4

＜0恒成立，从而求最值；
（Ⅱ）求导g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

，令u=x²+4x+3a，从而得到△=16-12a；从而讨论函数的极值点即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-

x2+2x+3

x4

＜0恒成立，故f（x）在[-4，-

1

2

]递减；
所以最大值为f（-4）=-

13

64

，最小值为f（-

1

2

）=-6；
（Ⅱ）∵g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

，∴g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

，令u=x²+4x+3a，
△=16-12a；
当a≥

4

3

时，△=16-12a≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点；
当0＜a＜

4

3

时，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0；
故函数的减区间为（-∞，-2-

4-3a

），（-2+

4-3a

，0）（0，+∞），增区间：（-2-

4-3a

，-2+

4-3a

），
故g（x）有极小值点-2-

4-3a

，极大值点-2+

4-3a

．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．