Question

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的方程为ρsin²θ=2cosθ，直线l的参数方程为

x=-2+tcosα y=-4+tsinα

（t为参数），α为锐角．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）过点P（-2，-4）的直线l与曲线C交于M，N两点，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求直线l的普通方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先，根据曲线C的参数方程直接化简即可；
（2）借助于直线中参数的几何意义求解即可．

解答： 解：（1）由曲线C的方程为ρsin²θ=2cosθ，得
ρ²sin²θ=2ρcosθ，
∴y²=2x，
∴曲线C的直角坐标方程：y²=2x，
（2）由直线l的参数方程为

x=-2+tcosα y=-4+tsinα

（t为参数），
代入y²=2x，得
sin²αt²-（8sinα+2cosα）t+20=0，
∴t₁t₂=

20

sin2α

，
根据直线的参数的几何意义，得
|PM|．|PN|=t₁t₂=

20

sin2α

，
|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|MN|²=|PM||PN|=

20

sin2α

，
∴|MN|=

2 5

sinα

，
|MN|²=（t₁-t₂）²，
∴（t₁+t₂）²-4t₁t₂=t₁t₂
∴（8sinα+2cosα）²=100sin²α，
∴9sin²α-8sinαcosα-cos²α=0，
∴9tan²α-8tanα-1=0，
∴tanα=1或tanα=-

1

9

，
∵α为锐角，
∴tanα=1，∴α=

π

4

，
∴sinα=cosα=

2

2

，
∴直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），
∴直线的普通方程为：x-y-2=0．

点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线的参数方程的几何意义等知识，属于中档题．