Question

3．下列命题：①函数f（x）=sin²x-cos²x的最小正周期是π；
 ②在等比数列{a_n}中，若a₁=1，a₅=4，则a₃=±2；
③设函数f（x）=$\frac{x+m}{x+1}$（m≠1），若f（$\frac{2t-1}{t}$）有意义，则t≠0；
④平面四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AC}$=0，则四边形ABCD是菱形．
其中所有的真命题是：（　　）

• A． ①②④
• B． ①④
• C． ③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①利用余弦的倍角公式进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可，
②根据等比数列的性质进行求解，
③根据函数定义域的性质建立不等式关系进行求解，
④根据向量相等以及向量数量积的性质进行判断即可．

解答 解：①函数f（x）=sin²x-cos²x=-cos2x，则函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π；故①正确，
 ②在等比数列{a_n}中，若a₁=1，a₅=4，则a₃²=a₁a₅=4，则a₃=±2；故②正确，
③设函数f（x）=$\frac{x+m}{x+1}$（m≠1），则函数的定义域为{x|x≠-1}，
若f（$\frac{2t-1}{t}$）有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2t-1}{t}≠-1}\\{t≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t≠\frac{1}{3}}\\{t≠0}\end{array}\right.$，则t≠0且t$≠\frac{1}{3}$；故③错误，
④平面四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，
则$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DC}$，
则四边形ABCD为平行四边形，
∵（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
则四边形ABCD的对角线垂直，
则四边形ABCD是菱形．故④正确，
故选：A．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较多，考查学生的运算和推理能力．