Question

11．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M，N分别是棱AA₁，CC₁的中点，
（Ⅰ）求正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球的半径与外接球的半径之比；
（Ⅱ）求四棱锥A-MB₁ND的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）内切球的直径是AB，外接球的直径是AC₁，由此能求出内切球与外接球半径之比．
（Ⅱ）连结MN，则${V_{A-M{B_1}ND}}={V_{A-M{B_1}N}}+{V_{A-MND}}$${V_{A-M{B_1}N}}={V_{N-AM{B_1}}}=\frac{1}{3}•a•{S_{△AM{B_1}}}$，由此能求出四棱锥A-MB₁ND的体积．

解答 解：（Ⅰ）由题意，内切球的直径是AB，外接球的直径是AC₁，
∴内切球半径$r=\frac{1}{2}a$，外接球半径$R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
∴内切球与外接球半径之比为$1：\sqrt{3}$．
（Ⅱ）连结MN，
则${V_{A-M{B_1}ND}}={V_{A-M{B_1}N}}+{V_{A-MND}}$${V_{A-M{B_1}N}}={V_{N-AM{B_1}}}=\frac{1}{3}•a•{S_{△AM{B_1}}}$，
∵${S_{△AM{B_1}}}=\frac{1}{2}•AM•{B_1}{A_1}=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}a•a=\frac{1}{4}{a^2}$，
∴${V_{A-M{B_1}N}}=\frac{1}{3}•a•\frac{1}{4}{a^2}=\frac{1}{12}{a^3}$，${V_{A-MND．}}={V_{N-AMD}}=\frac{1}{3}•a•{S_{△AM{D_1}}}$，
∵${S_{△AM{B_1}}}=\frac{1}{2}•AM•AD=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}a•a=\frac{1}{4}{a^2}$，
∴${V_{A-MND}}=\frac{1}{3}•a•\frac{1}{4}{a^2}=\frac{1}{12}{a^3}$，
综上，四棱锥A-MB₁ND的体积${V_{A-M{B_1}ND}}={V_{A-M{B_1}N}}+{V_{A-MND}}=\frac{1}{6}{a^3}$．

点评 本题考查正方体的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的性质的合理运用．