Question

（1）当x∈[

π

6

，

7π

6

]时，求函数f（x）=-2cos²x-sinx+3的值域；
（2）求函数f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用同角三角函数间的关系与二次函数的配方法可求得y=2（sinx-

1

4

）2+

7

8

，x∈[

π

6

，

7π

6

]⇒-

1

2

≤sinx≤1，从而可求函数y=3-sinx-2cos²x的值域．
（2）令t=sinx+cosx∈[-

2

，

2

]，则函数即y=

1

2

（t+1）²-1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．

解答： 解：（1）∵y=3-sinx-2cos²x
=2sin²x-sinx+1
=2（sinx-

1

4

）2+

7

8

，
∵x∈[

π

6

，

7π

6

]时，
∴-

1

2

≤sinx≤1，
∴当sinx=

1

4

时，y_min=

7

8

；
当sinx=-

1

2

时，y_max=2；
∴函数y=3-sinx-2cos²x的值域为[

7

8

，2]．
（2）令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，则有 t²=1+2sinxcosx，
故函数y=sinx+cosx+sinxcosx=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴当t=-1时，函数取得最小值为-1，当t=

2

时，函数取得最大值为

2

+

1

2

，
故函数的值域为[-1，

2

+

1

2

]．

点评：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．