Question

已知函数f（x）=log_a（x²-2x+2a）（a＞0且a≠1）的定义域为[0，1]．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得对任意的x∈[0，1]，关于x的不等式f（x）≥

5x-1

都成立？若存在，求出a的所有可能取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令g（x）=x²-2x+2a（a＞0且a≠1），依题意，由

g(0)=a＞0 g(1)=2a-1＞0

即可求得实数a的取值范围；
（2）假设存在在实数a，使得对任意的x∈[0，1]，关于x的不等式f（x）≥

5x-1

都成立，可得[log_a（x²-2x+2a）]_min≥(

5x-1

)max恒成立，通过对a＞1与

1

2

＜a＜1两类讨论，利用复合函数的单调性质可判知这样的实数a不存在．

解答： 解：（1）令g（x）=x²-2x+2a（a＞0且a≠1），则y=g（x）的对称轴为x=1，
∵函数f（x）=log_a（x²-2x+2a）（a＞0且a≠1）的定义域为[0，1]，
∴

g(0)=a＞0 g(1)=2a-1＞0

，解得：a＞

1

2

，又a≠1，
∴实数a的取值范围为（

1

2

，1）∪（1，+∞）；
（2）假设存在在实数a，使得对任意的x∈[0，1]，关于x的不等式f（x）≥

5x-1

都成立．
∵?x∈[0，1]，不等式f（x）=log_a（x²-2x+2a）≥

5x-1

恒成立，
∴[log_a（x²-2x+2a）]_min≥(

5x-1

)max恒成立，
又当x∈[0，1]时，y=

5x-1

为增函数，
∴(

5x-1

)max=

51-1

=2，
若a＞1，[log_a（x²-2x+2a）]_min=log_a（2a-1）≥2恒成立?a²-2a+1=（a-1）²≤0恒成立，与（a-1）²＞0矛盾，即a＞1时不成立；
若

1

2

＜a＜1，同理可得，[log_a（x²-2x+2a）]_min=log_a2a≥2恒成立?2a≤a²，解得a≥2或a≤0，这与

1

2

＜a＜1矛盾，即

1

2

＜a＜1时不成立；
综上所述，这样的实数a不存在．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查二次函数、幂函数、指数函数的性质及复合函数的单调性、反证法的应用，考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于难题．