Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A1A=AC=

2

AB，AB=BC=a，D为BB₁的中点．
①证明：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁；
②求点B到平面的距离ADC₁；
③求平面ADC₁与平面ABC所成的二面角大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件推导出AB⊥BC，建立直角坐标系，利用向量法能求出平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．
（2）求出平面ADC₁的法向量

n

，设点B到平面的距离ADC₁为d，由d=

| n • BA |

| n |

能求出结果．
（3）分别求出平面ABC的法向量和平面ADC₁的法向量，利用向量法能求出平面ADC₁与平面ABC所成的二面角的大小．

解答： （1）证明：∵A1A=AC=

2

AB，AB=BC=a，
∴AB²+BC²=AC²，由勾股定理知AB⊥BC，
则如图所示建立直角坐标系，由题意知坐标分别为：B(0，0，0)，A(0，a，0)，C(a，0，0)，B1(0，0，

2

a)，A1(0，a，

2

a)C1(a，0，

2

a)
∵D₁，E分别是BB₁，AC₁之中点．
∴D(0，0，

2

2

a)，E(

a

2

，

a

2

，

2

2

a)，
∴

DE

=(

a

2

，

a

2

，0)，

CC1

=(0，0，

2

a），

AC1

=(a，-a，

2

a)，
∵

DE

•

AC1

=0，

DE

•

CC1

=0，
∴DE⊥AC₁，DE⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C₁，∴DE⊥面A₁ACC₁，
∵DE?平面ADC₁，∴平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．…（4分）
（2）解：设平面ADC₁的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
且

AD

=(0，-a，

2

2

a)，

AC1

=(a，-a.

2

a)，
∴

AD • n =-ay1+ 2 2 az1=0 AC1 • n =ax1-ay1+ 2 az1=0

，
∴

n

=（-

2

2

，

2

2

，1），又∵

BA

=(0，a，0)，
设点B到平面的距离ADC₁为d，
则d=

| n • BA |

| n |

=

2 2 a

1 2 + 1 2 +1

=

1

2

a．
∴点B到平面ADC₁的距离为

1

2

a．…（8分）
（3）解：∵平面ABC的法向量为

m

=（0，0，1），
平面ADC₁的法向量

n

=（-

2

2

，

2

2

，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

1× 1 2 + 1 2 +1

=

2

2

，
平面ADC₁与平面ABC所成的二面角为

π

4

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查平面与平面所成二面角的求法，解题时要注意向量法的合理运用．