Question

如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．
（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；
（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）给养快艇从港口A到小岛B的航行时间，已知其速度，则只要求得AB的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．
（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合，根据题意确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题．

解答： 解：（1）由题意知，在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°．
于是AB=60，而快艇的速度为60海里/小时，
所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时． …（5分）
（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．
为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，
设t小时后恰与科考船在C处相遇．…（7分）
在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°，所以OB=60

3

，
而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t），∠BOC=30°，…（9分）
由余弦定理，得BC²=OB²+OC²-2OB•OC•cos∠BOC，
即(60t)2=(60

3

)2+[20(2+t)]2-2×60

3

×20(2+t)×

3

2

，
亦即8t²+5t-13=0，解得t=1或t=-

13

8

（舍去）．…（12分）
故t+2=3．即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．…（14分）

点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．余弦定理在解实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握．