Question

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：
（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
（2）全体排成一行，男生不能排在一起；
（3）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人；
（4）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：排列组合

分析：（1）利用元素分析法（特殊元素优先安排），甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，问题得以解决．
（2）利用插空法、先排女生，然后在空位中插入男生，问题得以解决．
（3）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙，问题得以解决．
（4）利用间接法，先排最左边，除去甲外，但应剔除乙在最右边的排法数，问题得以解决．

解答： 解　（1）利用元素分析法（特殊元素优先安排），甲为特殊元素，
故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有

A

1 3

，其余6人全排列，有

A

6 6

．
由分步计数原理得

A

1 3

•

A

6 6

=2160（种）．
（2）插空法、先排女生，然后在空位中插入男生，共有

A

4 4

•

A

3 5

=1440（种）
（3）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有

A

3 5

，
甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有

A

2 2

•

A

3 3

，
最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有

A

3 5

•

A

2 2

•

A

3 3

=720（种）．
（4）位置分析法（特殊位置优先安排）．先排最左边，除去甲外，余下的6个位置全排有

A

1 6

•

A

6 6

种，但应剔除乙在最右边的排法数

A

1 5

•

A

5 5

种．
则符合条件的排法共有有

A

1 6

•

A

6 6

-

A

1 5

•

A

5 5

=3720（种）

点评：本题主要考查了排列问题中的几种常用方法，特殊元素优先安排，相邻捆绑，不相邻插空，正难则反，属于基础题．