Question

设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x²-（2m+1）x+2m＜0}．
（1）当m＜

1

2

时，化简集合B；
（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围；
（3）若∁_RA∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：因式分解x²-（2m+1）x+2m＜0．
（1）直接由m＜

1

2

化简集合B；
（2）由A∪B=A得B⊆A，然后分m＜

1

2

，m=

1

2

时，m＞

1

2

时三种情况讨论求解实数m的取值范围；
（3）把∁_RA∩B中只有一个整数，分m＜

1

2

，m=

1

2

时，m＞

1

2

时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．

解答： 解：由不等式x²-（2m+1）x+2m＜0，得（x-1）（x-2m）＜0．
（1）当m＜

1

2

时，2m＜1，
∴集合B={x|2m＜x＜1}；
（2）若A∪B=A，则B⊆A，
∵A={x|-1≤x≤2}，
①当m＜

1

2

时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒
-

1

2

≤m＜

1

2

；
②当m=

1

2

时，B=∅，有B⊆A成立；
③当m＞

1

2

时，B={x|1＜x＜2m}，此时1＜2m≤2，得

1

2

＜m≤1；
综上所述，所求m的取值范围是-

1

2

≤m≤1．
（3）∵A={x|-1≤x≤2}，
∴∁_RA={x|x＜-1或x＞2}，
①当m＜

1

2

时，B={x|2m＜x＜1}，
若∁_RA∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得-

3

2

≤m＜-1；
②当m=

1

2

时，不符合题意；
③当m＞

1

2

时，B={x|1＜x＜2m}，若∁_RA∩B中只有一个整数，
则3＜2m≤4，∴

3

2

＜m≤2．
综上知，m的取值范围是-

3

2

≤m＜-1或

3

2

＜m≤2．

点评：在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．