Question

已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.

AB

•

AC

=m（m为正常数），∠BAC=θ，且a=2．
（Ⅰ）若bc有最大值4，求m的值及θ的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（θ）=2cos²（θ+

π

4

）+2

3

sin²θ-

3

的最大值及相应的θ的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦

专题：

分析：（1）向量的数量积，利用余弦定理求出b²+c²-2m=4，通过基本不等式求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）利用二倍角的余弦函数化简函数为一个角的三角函数的形式，通过角的范围正弦函数的最值求出函数的最大值即相应的θ值．

解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理可得，b²+c²-2bccosθ=4，即b²+c²-2m=4，又bc≤

1

2

（b²+c²）=m+2=4，∴m=2；
∴有bccosθ=2，cosθ=

2

bc

≥

1

2

，∴θ∈（0，

π

3

]；
（Ⅱ）∵f（θ）=1+cos（2θ+

π

2

）+

3

（1-cos2θ）-

3

=-sin2θ-

3

cos2θ+1
=-2sin（2θ+

π

3

）+1．
由（Ⅰ）可知θ∈（0，

π

3

]，
∴2θ+

π

3

∈（

π

3

，π]，sin（2θ+

π

3

）∈[0，1]，
∴f（θ）_max=1，此时θ=

π

3

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，掌握正弦函数的基本性质，是解好本题的关键．