题目内容
已知数列{an}满足：a1=2，an+1=2an+2n+1．
（1）若bn=
，求证：数列{bn}为等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
（1）若bn=
| an |
| 2n |
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
考点：数列递推式,等差关系的确定,数列的求和
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由条件得
=
+1⇒bn+1=bn+1，利用等差数列的定义，可得数列{bn}为等差数列；
（2）利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn．
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
（2）利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn．
解答：
（1）证明：由条件得
=
+1⇒bn+1=bn+1，
所以bn+1-bn=1
所以{bn}为等差数列；
（2）解：由（1）得bn=b1+(n-1)•1=n⇒
=n，∴an=n•2n，
∴Sn=1•2+2•22+…+n•2n，
∴2Sn=1•22+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
由错位相减得：Sn=(n-1)2n+1+2．
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
所以bn+1-bn=1
所以{bn}为等差数列；
（2）解：由（1）得bn=b1+(n-1)•1=n⇒
| an |
| 2n |
∴Sn=1•2+2•22+…+n•2n，
∴2Sn=1•22+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
由错位相减得：Sn=(n-1)2n+1+2．
点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法，是中档题．
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