Question

4．中心为原点，一个焦点为$F（0，5\sqrt{2}）$的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为$\frac{1}{2}$，则椭圆的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{75}=1$
• B． $\frac{x^2}{75}+\frac{y^2}{25}=1$
• C． $\frac{{2{x^2}}}{75}+\frac{{2{y^2}}}{25}=1$
• D． $\frac{{2{x^2}}}{25}+\frac{{2{y^2}}}{75}=1$

Answer 1

分析 根据焦点坐标得出a²-b²=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=5$\sqrt{2}$，即为a²-b²=50，①
将直线y=3x+2代入椭圆方程，可得
（9b²+a²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
由弦的中点的横坐标为$\frac{1}{2}$，
设弦的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由根与系数的关系可得，x₁+x₂=$\frac{12{b}^{2}}{{a}^{2}+9{b}^{2}}$，
由中点坐标公式可得，$\frac{12{b}^{2}}{{a}^{2}+9{b}^{2}}$=1，
即有a²=3b²②
联立①②可得，a²=75，b²=25
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1．
故选：A．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．主要涉及韦达定理、中点坐标公式等．