题目内容
如图，已知△SCD中，SD=3，CD=
，cos∠SCD=-
，SA=2AD，AB⊥SD交SC于B，M为SB上点，且SM=2MB，将△SAB沿AB折起，使平面SAB⊥平面ABCD
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）设点N是直线CD上的点，且
=
，求MN与平面SCD所成角的正弦值．
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 5 |
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）设点N是直线CD上的点，且
| DN |
| 1 |
| 2 |
| NC |
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）以点A为原点建立空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量，证明
⊥
，即可证明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）设MN与平面SCD所成角为α，利用sinα=
，即可求出MN与平面SCD所成角的正弦值．
| AM |
| n |
（Ⅱ）设MN与平面SCD所成角为α，利用sinα=
|
| ||||
|
|
解答：
（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，
，
）．
则
=（0，
，
），
=（1，0，-2），
=（-1，-2，0）
设平面SCD的法向量是
=（x，y，z），则
，令z=1，则x=2，y=-1，于是
=（2，-1，1）．
∴
•
=0，∴
⊥
．
∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）解：∵
=
，
∴
=
+
，
∴N（
，
，0），
∴
=（
，0，-
），
由（Ⅰ）知平面SCD的法向量
=（2，-1，1）．
设MN与平面SCD所成角为α，则
sinα=
=
∴MN与平面SCD所成角的正弦值为
．
（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
则
| AM |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| SD |
| CD |
设平面SCD的法向量是
| n |
|
，令z=1，则x=2，y=-1，于是
| n |
∴
| AM |
| n |
| AM |
| n |
∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）解：∵
| DN |
| 1 |
| 2 |
| NC |
∴
| AN |
| 2 |
| 3 |
| AD |
| 1 |
| 3 |
| AC |
∴N（
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴
| MN |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
由（Ⅰ）知平面SCD的法向量
| n |
设MN与平面SCD所成角为α，则
sinα=
|
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
∴MN与平面SCD所成角的正弦值为
| ||
| 10 |
点评：本题考查线面平行，线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求向量是关键．
练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）=x3-x2+a在[-1，1]的最小值是1，则实数a的值是（ ）
| A、1 | ||
| B、3 | ||
C、
| ||
| D、-1 |
在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
| A、θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=4 | ||
B、θ=
| ||
| C、θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 | ||
D、θ=
|
如图，椭圆C：
如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°AB=2，DE=EF=1．
如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=