Question

求证：1²+2²+3²+…+（n-1）²+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边=1²=1，右边=

1×2×3

6

=1，等式成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即：1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

-----------（6分）
那么，当n=k+1时，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)

6

+（K+1）²
=

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2

6

=

k(k+1)(2k+1)[2(k+1)+1]

6

，
就是说，当n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
综上所述，对任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．