Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，其中a₁=b₁=1，a₂≠b₂，且b₂为a₁，a₂的等差中项，a₂为b₂，b₃的等差中项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=

1

n

（a₁+a₂+…+a_n）（b₁+b₂+…+b_n），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设公比及公差分别为q，d，由2b₂=a₁+a₂，2a₂=b₂+b₃，解得q=2，d=2，由此能求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）由cn=

1

n

•n2•(2n-1)=n•2n-n，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设公比及公差分别为q，d，
由2b₂=a₁+a₂，2a₂=b₂+b₃，
得q=1，d=0或q=2，d=2，（3分）
又由a₂≠b₂，故q=2，d=2（4分）
∴an=2n-1，bn=2n-1（6分）
（2）∵cn=

1

n

•n2•(2n-1)=n•2n-n（8分）
∴Sn=(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)（9分）
令Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1②
由②-①得Tn=(n-1)•2n+1+2，（11分）
∴Sn=(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+2．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．