Question

5．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．
（1）求直线l与圆C的普通方程；
（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的普通方程和圆C的普通方程．
（2）由直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，得到圆心C（2，-1）到直线2ax+2y-1=0的距离为半径一半，由此能求出a．

解答 解：（1）∵直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数），
∴直线l的普通方程为2ax+2y-1=0．
∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ，
∴ρ²=4ρcosθ-2ρsinθ，
∴圆C的普通方程为：x²+y²-4x+2y=0．
（2）∵圆C：x²+y²-4x+2y=0的圆心C（2，-1），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4}$=$\sqrt{5}$，
直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，
∴直线l截圆C所得的弦|AB|所对圆心角为120°，
∴圆心C（2，-1）到直线2ax+2y-1=0的距离为半径一半，
即d=$\frac{|4a-2-1|}{\sqrt{4{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得a=$\frac{2}{11}$或a=2．

点评 本题考查直线与圆的普通方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标与直角坐标互化公式的合理运用．