Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，b-c=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$-\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 a=2，b-c=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}bc$sinA=$\sqrt{3}$，2²=b²+c²-2bccosA，解得sinA，cosA，利用sin²A+cos²A=1，解得c，b，再利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：∵a=2，b-c=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}bc$sinA=$\sqrt{3}$，2²=b²+c²-2bccosA，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{3}}{c（c+1）}$，cosA=$\frac{3-2{c}^{2}-2c}{2c（c+1）}$，
∴sin²A+cos²A=$\frac{12}{{c}^{2}（c+1）^{2}}$+$\frac{（3-2{c}^{2}-2c）^{2}}{4{c}^{2}（c+1）^{2}}$=1，
解得c=$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$，cosA=$-\frac{13}{19}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cbcosA=（5-$\frac{1}{4}$）×$（-\frac{13}{19}）$=-$\frac{13}{4}$．
故答案为：-$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．