Question

已知M={x|x＞3或x＜1}，当x∈M时，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：由于4^x=（2^x）²，函数f（x）=2^x+2-3×4^x可看成是以2^x为变量的二次函数，利用指数函数的性质求出2^x的范围，此范围为此二次函数的自变量的范围，再用二次函数求最值的方法求解．

解答： 解：∵M={x|x＞3或x＜1}，∴x＞3或x＜1，
又∵函数y=2^x为增函数，
∴2^x＞8或0＜2^x＜2，
∵f(x)=-3×22x+2x+2=-3(2x-

1

6

)2+

25

12

．
此函数可看成以2^x为变量的二次函数，此二次函数的自变量的范围为（0，2）∪（8，+∞）
∴当2^x=

1

6

，即x=log2

1

6

时，f（x）最大，最大值为

25

12

，f（x）没有最小值．

点评：本题综合考查指数函数求值域、二次函数求最值的问题，换元是常用的方法，属于中档题．