题目内容
已知函数f（x）=ax2-ln x．
（1）求函数的单调区间与最值；
（2）当a=1时，函数g（x）=1-
，求证：
+
+…+
＜
．（其中e为自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间与最值；
（2）当a=1时，函数g（x）=1-
| f(x) |
| x2 |
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数单调性的性质,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出函数的导数，利用导数大于0，小于0，分别求函数的单调区间与最值；
（2）通过a=1，利用（1）的结论，求解函数g（x）=1-
的导数，利用最值，放缩裂项法求和，即可证明
+
+…+
＜
．（其中e为自然对数的底数）
（2）通过a=1，利用（1）的结论，求解函数g（x）=1-
| f(x) |
| x2 |
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
解答：
解：（1）因为f'（x）=
（x＞0），
所以①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，故递减区间为（0，+∞），无最值；
②当a＞0时，递增区间为[
，+∞），递减区间为（0，
），
所以有最小值f（
）=
[1+ln（2a）].5分
（2）当a=1时，函数g（x）=
（x＞0），
g'（x）=
，
函数g（x）在（
，+∞）上单调递减，在（0，
）上单调递增，
所以有g（x）=
≤g（
）=
，
≤
•
，且有
＜
•
＜
•（
-
），
取x=2，3，…，
则
+
+…+
＜
•[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]，
所以
+
+…+
＜
•（1-
）＜
.12分．
| 2ax2-1 |
| x |
所以①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，故递减区间为（0，+∞），无最值；
②当a＞0时，递增区间为[
| ||
| 2a |
| ||
| 2a |
所以有最小值f（
| ||
| 2a |
| 1 |
| 2 |
（2）当a=1时，函数g（x）=
| lnx |
| x2 |
g'（x）=
| 1-2lnx |
| x3 |
函数g（x）在（
| e |
| e |
所以有g（x）=
| lnx |
| x2 |
| e |
| 1 |
| 2e |
| lnx |
| x4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| x2 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
取x=2，3，…，
则
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
所以
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 2e |
点评：本题考查函数的导数的综合应用，裂项法求和，以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A、y=
| ||
| B、y=2x | ||
| C、y=|x|+1 | ||
| D、y=-x2+1 |