Question

已知向量

a

=(1，-

3

)，

b

=（sinx，cosx），f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）若f（θ）=0，求

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

的值；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算知，f（x）=

a

•

.

b

=sinx-

3

cosx，f（θ）=0⇒tanθ=

3

，再对所求关系式降幂化简为

cosθ-sinθ

sinθ+cosθ

，“弦”化“切”即可；
（Ⅱ）x∈[0，π]时，x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，从而可求得f（x）=2sin（x-

π

3

）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（1，-

3

），

b

=（sinx，cosx），
∴f（x）=

a

•

.

b

=sinx-

3

cosx，
∵f（θ）=0，即sinθ-

3

cosθ=0，
∴tanθ=

3

，
∴

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=

cosθ-sinθ

sinθ+cosθ

=

1-tanθ

tanθ+1

=

1- 3

3 +1

=-2+

3

．
（Ⅱ）f（x）=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），
∵x∈[0，π]，
∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
当x-

π

3

=-

π

3

即x=0时，f（x）_min=-

3

，
当x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

6

时，f（x）_max=2，
∴当x∈[0，π]时，函数f（x）的值域为[-

3

，2]．

点评：本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．