Question

已知函数f(x)=ax-lnx+

a-1

x

-1，试讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：对函数f（x）求导数，根据f′（x）的符号即可判断f（x）的单调性，这里要注意怎样对a讨论，求导之后你会得到f′（x′）=

(x-1)(ax+a-1)

x2

，因x＞0，所以只需对（x-1）（ax+a-1）讨论符号．在这里你很容易想到要提出a，所以需要先讨论a是否等于0，等于0的情况很容易求出单调区间，对于a不等于0的情况，先提出a得到f′（x）=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

，这时这样进行讨论：

1-a

a

≤0，0＜

1-a

a

＜1，

1-a

a

=1，

1-a

a

＞1，这样便完成对f（x）单调性的讨论．

解答： 解：f′(x)=

ax2-x-a+1

x2

=

(x-1)(ax+a-1)

x2

．
当a=0时f′(x)=

1-x

x2

，∴f（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当a≠0时，f′(x)=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

当a＜0  时，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜

1

2

 时，

1-a

a

＞1，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在(1，

1-a

a

)上单调递减，在[

a-1

a

，+∞)上单调递增；
当a=

1

2

 时，

1-a

a

=1，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
当

1

2

＜a＜1 时，0＜

1-a

a

＜1，∴f(x) 在(0，

1-a

a

)上单调递增，在(

1-a

a

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a≥1时，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1）单调递减，在[1，+∞）上单调递增；

点评：用导数法判断f（x）的单调性，这个很容易想到，而要注意的是怎样对a取值的讨论．