Question

8．△ABC内接于以O为圆心，半径长为2的圆，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=0，则△ABC的面积是2$+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=0，利用向量的模的计算和向量的夹角公式即可求出∠AOB=60°，∠AOC=∠BOC=150°，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）²=（-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$）²，
∴4+4+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3×4，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2，
∴cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOB=60°，
同理可求∠AOC=∠BOC=150°，
∴S_△ABC=S_△AOC+S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2²×（sin60°+2sin150°）=2+$\sqrt{3}$，
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量在平面几何中的应用，属于中档题．