Question

7．已知奇函数f（x）的定义域为R，且对任意实数x满足f（x）=f（2-x），当x∈（0，1）时，f（x）=2^x+1，则f（log${\;}_{\frac{1}{2}}}$$\frac{1}{15}$）=-$\frac{31}{15}$．

Answer 1

分析 推导出f（x）是以4为周期的周期函数，从而f（log${\;}_{\frac{1}{2}}}$$\frac{1}{15}$）=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{15}-lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{16}$）=-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{15}{16}$），由此利用当x∈（0，1）时，f（x）=2^x+1，能求出结果．

解答 解：∵奇函数f（x）的定义域为R，且对任意实数x满足f（x）=f（2-x），
∴f（x+4）=f[2-（x+4）]=f（-x-2）=f（x+2）=-f[2-（x+2）]=f（-x）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
当x∈（0，1）时，f（x）=2^x+1，
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}}$$\frac{1}{15}$）=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{15}-lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{16}$）=-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{15}{16}$）
=-（${2}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{15}{16}}$+1）
=-（$\frac{16}{15}+1$）
=-$\frac{31}{15}$．
故答案为：$-\frac{31}{15}$．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．