Question

已知函数f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（Ⅰ）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值．
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）求最小正实数m，使得函数h（x）的图象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由二倍角公式可得f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，由对称轴可得2x₀+

π

6

=kπ，k∈Z，代值计算可得；
（Ⅱ）由三角函数公式可得h（x）=f（x）+g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得单调递增区间；
（Ⅲ）由图象变换可知只需向左平移

π

12

个单位即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
又∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴2x₀+

π

6

=kπ，k∈Z，∴2x₀=kπ-

π

6

，
∴g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=

3

4

；
（Ⅱ）由题意可得h（x）=f（x）+g（x）
=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x+sin2x）
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）
=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

∴h（x）单调递增区间为[得kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．（k∈Z）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
由图象变换可知只需向左平移

π

12

个单位，
可得y=

3

2

+

1

2

sin[2（x+

π

12

）+

π

3

]=

3

2

+

1

2

cos2x，为偶函数，
∴所求最小正实数m为

π

12

点评：本题考查三角函数图象的变换和性质，涉及复合函数的单调性和函数的奇偶性，属中档题．