Question

给出下列说法：
（1）函数y=3（x-1）²的图象可由y=3x²的图象向右平移1个单位得到；
（2）函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）图象的一条对称轴为x=

π

6

；
（3）函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）；
（4）已知y=log_a（2-ax）在[0，1]上为x的减函数，则a的取值范围为（0，2）；
（5）设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．
其中正确的是

 

（只写番号）

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据图象平移“左+右-”的规律可解决问题；（2）可利用三角函数图象的对称轴过最高点或最低点来判断；（3）可利用诱导公式进行化简；（4）根据函数的单调性和定义域求出参数的取值范围；（5）利用根的存在性定理，可判断出本题结论是否正确．

解答： 解：（1）将y=3x²的图象向右平移1个单位，即将“x”换成“x-1”，得到函数y=3（x-1）²，
故（1）的结论正确；
（2）当x=

π

6

时，f(

π

6

)=4sin(2×

π

6

+

π

3

)=2sin

2π

3

=2×

3

2

=

3

，
∵三角函数图象的对称轴过最高点或最低点，
∴直线x=

π

6

不是函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）图象的一条对称轴．
故（2）结论不正确；
（3）根据诱导公式可知，函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=4cos(

π

6

-2x)=4cos(2x-

π

6

)，
函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

），（3）结论正确；
（4）∵y=log_a（2-ax）在[0，1]上为x的减函数，
∴a＞0，a≠1，
∴内函数u=2-ax在[0，1]上为减函数，
∴外函数y=log_au为增函数．
∴a＞1．
又∵函数u=2-ax在[0，1]上函数值为正，
∴当x=1时，u=2-a＞0，
∴a＜2．
综上所述：1＜a＜2．
则“a的取值范围为（0，2）．”不准确，
故（4）结论不正确；
（5）∵f（a）•f（b）＜0，
∴f（a），f（b）异号，即两点（a，f（a）），（b，f（b））一点在x轴上方，另一点在x轴下方，
又∵函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，
∴函数f（x）是在区间[a，b]上图象与x轴必有交点，
∴方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．
故（5）结论正确．
故答案为：（1）（3）（5）．

点评：本题考查了函数图象的知识，函数图象平移与解析式的关系，三角函数的对称轴性质，三角函数诱导公式，复合函数的单调性，连续函数根的存在性，知识内容多，答题要细心，属于中档题．