Question

13．在（3-$\sqrt{x}$）ⁿ（n≥2且n∈N）展开式中x的系数为a_n，则$\frac{3}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{3}^{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{3}^{2015}}{{a}_{2016}}$=（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2015}{1008}$
• C． $\frac{2015}{672}$
• D． $\frac{2015}{336}$

Answer 1

分析 利用二项式（3-$\sqrt{x}$）ⁿ展开式的通项公式，求出展开式中x的系数a_n；再化简、计算$\frac{3}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{3}^{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{3}^{2015}}{{a}_{2016}}$的值．

解答 解：二项式（3-$\sqrt{x}$）ⁿ（n≥2且n∈N）展开式的通项为
 T_r+1=（-1）^r•3^n-r•${C}_{n}^{r}$•${x}^{\frac{r}{2}}$，
令$\frac{r}{2}$=1，得r=2；
∴展开式中x的系数为a_n=3^n-2C_n²；
则$\frac{3}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{3}^{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{3}^{2015}}{{a}_{2016}}$
=$\frac{3}{{C}_{2}^{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{3{×C}_{3}^{2}}$+$\frac{{3}^{3}}{{3}^{2}{×C}_{4}^{2}}$+…+$\frac{{3}^{2015}}{{3}^{2014}{×C}_{2016}^{2}}$
=3（1+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{2015×2016}$）
=6（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=6×$\frac{2015}{2016}$
=$\frac{2015}{336}$．
故选：D．

点评 本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，也考查了组合数公式的应用问题，是综合性题目．