Question

3．已知函数f（x）=lg[（m²-1）x²-（1-m）x+1]
（1）若函数的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数的定义域为R，则（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0对x∈R恒成立，进而可得实数m的取值范围；
（2）若函数的值域为R，则g（x）=（m²-1）x²-（1-m）x+1的值域包含（0，+∞），进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题知（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0对x∈R恒成立．
（I）当m²-1=0时，若m=1，有1＞0恒成立，符合题意：
若m=-1，有$x＜\frac{1}{2}$，不合题意．
（II）当m²-1≠0即m≠±1时，
有$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-1＞0⇒m＞1或m＜-1\\△={（1-m）^2}-4（{m^2}-1）＜0⇒m＞1或m＜-\frac{5}{3}\end{array}\right.$解得：m＞1或$m＜-\frac{5}{3}$；
∴由（I）（II）可知$m∈（-∞，-\frac{5}{3}）∪[1，+∞）$．
（2）由题意，g（x）=（m²-1）x²-（1-m）x+1的值域包含（0，+∞），
（I）当m²-1=0时，若m=1，有g（x）=1，不合题意；
若m=-1，则g（x）=-2x+1，符合题意．
（II）当m²-1≠0即m≠±1时
有$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-1＞0\\△≥0\end{array}\right.$解得：$-\frac{5}{3}≤m＜-1$
∴由（I）（II）可知$m∈[-\frac{5}{3}，-1]$．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．