Question

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，a=2，2sinA=sinC，求b及c的长．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可求c=$\frac{asinC}{sinA}$=4．利用大边对大角可求A为锐角，进而可求sinA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用余弦定理即可求得b的值．

解答 解：∵a=2，2sinA=sinC，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$得，c=$\frac{asinC}{sinA}$=4．
∵c＞a，
∴C＞A，
∴A为锐角，而sinA=$\frac{sinC}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴cosA=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：4=b²+16-2×4×b×$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，
∴b²-3$\sqrt{6}$b+12=0．
∴解得b=$\sqrt{6}$或b=2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．