Question

2．已知函数f（x）=$\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$．对于下列命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）有最大值；
③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；
④方程f（x）=0在区间[-100，100]上的根的个数是201个；
其中不正确的命题个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据周期的定义即可判断．
②根据二次函数的最值和不等式的基本性质，可以求出x²+1≥1；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，注意等号成立的条件，从而求得$\frac{1}{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-2x+2）}$＜1的范围，根据正弦函数的有界性，从而求得结论正确，
③根据轴对称图形的定义，在函数f（x）图象上任取点P（x，y），求出点P关于直线x=$\frac{1}{2}$的对称点是P′（1-x，y），验证点P′在函数的图象上即可；
④方程f（x）=0在区间[-100，100]上的根，即为sinπx=0在区间[-100，100]上的根．

解答 解：①函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，
所以函数图象无限靠近于X轴，故不是周期函数，故①错误；
②∵x²+1≥1，当x=0时等号成立；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，当x=1时等号成立，
∴（x²+1）[（x-1）²+1]＞1，∴0＜$\frac{1}{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-2x+2）}$＜1，
而|sinπx|≤1，∴$\frac{|sinπx|}{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-2x+2）}$≤1，即|f（x）|≤1；故②正确；
③在函数f（x）图象上任取点P（x，y），则点P关于直线x=$\frac{1}{2}$的对称点是P′（1-x，y）
而f（1-x）=$\frac{sinπ（1-x）}{[（1-x）^{2}+1][（1-x）^{2}-2（1-x）+2]}$=$\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$．
∴直线x=$\frac{1}{2}$是函数f（x）图象的对称轴；故③正确，
④方程f（x）=0，即sinπx=0，即πx=kπ，k∈Z，解得x=k，k∈Z，
由于x∈[-100，100]，
∴方程f（x）=0在区间[-100，100]上的根的个数是201个，故④正确，
故选：A．

点评 本题主要考查了函数思想，转化思想，还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题，以及函数奇偶性的判定方法等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，数形结合法是解答本类题的重要方法．