Question

17．函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象如图所示，则函数$g（x）={x^2}+\frac{2b}{3}x+\frac{c}{3}$的单调递减区间是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• C． （-2，3）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由图象得到f′（-2）=f（3）=0，联立求得b，c的值，求出g（x）的导数，从而求出函数的递减区间即可．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
由图可知f′（-2）=f（3）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-4b+c=0}\\{27+6b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-18}\end{array}\right.$，
$g（x）={x^2}+\frac{2b}{3}x+\frac{c}{3}$=x²-x-6，g′（x）=2x-1，
令g′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
故g（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）递减，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．