Question

9．过直线L：x+y-4=0上一动点P作圆O：x²+y²=4两切线，切点分别为A、B，则四边形OAPB面积的最小值为4．

Answer 1

分析 四边形PAOB为2个对称的直角三角形构成，由OA与OB为圆的半径，其值固定不变，得到当PO最小值，四边形PAOB的面积最小，即圆心到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出PO的长，利用勾股定理求出此时AP的长，利用三角形的面积公式求出两直角三角形的面积，即为四边形PAOB面积的最小值．

解答 解：由圆x²+y²=4，得到圆心O坐标为（0，0），半径r=2，
又直线x+y-4=0，
∴|PO|_min=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，又|OA|=2，
∴在Rt△AOP中，利用勾股定理得：|AP|=2，
则四边形PAOB面积的最小值S=2×$\frac{1}{2}$×|OA|×|AP|=4．
故答案为：4．

点评 此题考查了直线与圆方程的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，以及三角形面积的求法，其中根据题意得到|PO|的最小时，Rt△APO面积最小是解本题的关键．