Question

2．（Ⅰ）已知$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x+lnx}$，求f′（x）；
（Ⅱ）已知曲线y=e^-2x+1，求曲线在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x+lnx}$，利用导数公式求f′（x）；
（Ⅱ）先对函数y=e^-2x+1求导，求出y在x=0处的斜率，根据点斜式求出切线方程，再利用面积公式进行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x+lnx}$，
∴f′（x）=$\frac{2x（x+lnx）+（{x}^{2}-1）（1+\frac{1}{x}）}{（x+lnx）^{2}}$；
（Ⅱ）：∵y=e^-2x+1，
∴y′=-2e^-2x，
∴切线的斜率k=y′|_x=0=-2，且过点（0，2），
∴切线为：y-2=-2x，∴y=-2x+2，
∴切线与x轴交点为：（1，0），与y=x的交点为（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为：S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查导数知识的运用，利用导数研究曲线上的点的切线，注意斜率与导数的关系，此题是一道基础题．